FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

Sobre 3 conjuntos 𝐴,𝐵 e 𝐶, sabe-se que:
 𝐴 tem 16 elementos;
 𝐵 tem 24 elementos;
 𝐶 tem 18 elementos;
 𝐴 ∩ 𝐵 tem 5 elementos;
 𝐵 ∩ 𝐶 tem 7 elementos;
 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 tem 3 elementos;
 𝐴 − (𝐵 ∪ 𝐶) tem 8 elementos.
O número de elementos do conjunto 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 é igual a

A) 35.
B) 43.
C) 47.
D) 48.
E) 58.

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário — Operações com Três Conjuntos

A chave aqui é decompor cada conjunto em partes **disjuntas** (sem sobreposição) usando o Princípio da Inclusão-Exclusão. Comece identificando as regiões: elemento só em A, só em B, só em C, nas interseções duas a duas, e na interseção tripla. O dado crítico é A − (B ∪ C) = 8, que representa exatamente os elementos que estão em A mas não tocam B nem C.

Com A ∩ B ∩ C = 3 e A ∩ B = 5, temos que (A ∩ B) − C = 5 − 3 = 2 elementos. Similarmente, precisamos encontrar (A ∩ C) − B. Como A tem 16 elementos totais e já contabilizamos 8 (só em A) + 2 (em A∩B, fora C) + 3 (em A∩B∩C) = 13, restam 16 − 13 = 3 em (A ∩ C) − B.

Para B: temos 5 em A∩B, dos quais 3 estão também em C e 2 não. De B∩C = 7, subtraindo os 3 que já estão em A∩B∩C, ficam 4 em (B ∩ C) − A. Assim, elementos apenas em B = 24 − 5 − 4 = 15.

Para C: temos 3 em A∩C (fora B) + 4 em B∩C (fora A) + 3 em A∩B∩C = 10, deixando 18 − 10 = 8 apenas em C.

Somando tudo: 8 (só A) + 15 (só B) + 8 (só C) + 2 (A∩B−C) + 3 (A∩C−B) + 4 (B∩C−A) + 3 (A∩B∩C) = **48** elementos.

A alternativa **D** está correta.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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