FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

Alguns dos números que podem ser escritos na forma de fração
apresentam periodicidade quando representados na forma
decimal. Isto é, a partir de uma certa casa decimal, um dígito (ou
uma sequência de dígitos) passa a se repetir infinitamente. Como
exemplo, temos:
1
13 = 0,076923076923076923076…
Nessa representação decimal, o 1232º dígito após a vírgula é

A) 7.
B) 6.
C) 3.
D) 2.
E) 0.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. A fração $ \frac{1}{13} $ gera a dízima periódica $0,\overline{076923}$. O período, portanto, é formado por **6 algarismos**: $0, 7, 6, 9, 2, 3$. Isso significa que, após a vírgula, essa sequência se repete indefinidamente sempre na mesma ordem.

Para descobrir o $1232^\circ$ algarismo após a vírgula, não é necessário escrever a dízima até lá. Basta dividir $1232$ pelo tamanho do período, que é 6. Como $1232 \div 6$ deixa resto **2**, o algarismo procurado corresponde ao **2º algarismo do período**.

O período é:

$$
0,\ 7,\ 6,\ 9,\ 2,\ 3
$$

Assim, o 1º algarismo do ciclo é $0$, o 2º é $7$, o 3º é $6$, e assim por diante. Como o resto foi 2, o $1232^\circ$ dígito após a vírgula é **7**.

Logo, a alternativa correta é a **A**. As demais alternativas trazem algarismos que até aparecem no período — como $6$, $3$, $2$ e $0$ —, mas em posições diferentes dentro do ciclo. O erro típico aqui é confundir o resto da divisão com o algarismo em si, ou esquecer que resto $1$ corresponde ao primeiro termo do período, resto $2$ ao segundo, e assim sucessivamente.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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