FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

A figura a seguir mostra o triângulo retângulo ABC, com catetos
de medidas AB = 4 e AC = 2.
Uma semicircunferência tem centro sobre o lado AB e é tangente
a BC.
[imagem: triângulo retângulo ABC com AC vertical, AB horizontal e hipotenusa CB; uma semicircunferência apoiada em AB, com centro sobre AB, passa por A e é tangente ao segmento BC.]
O raio dessa semicircunferência mede:

A) √2 ;
B) √3+1
2 ;
C) 2√3
3 ;
D) √5
2 ;
E) √5 −1 .

Accepted Answer

Gabarito oficial: E. A sacada é transformar a figura em **geometria analítica**. Coloque $A=(0,0)$, $B=(4,0)$ e $C=(0,2)$. Como a semicircunferência “passa por $A$” e tem centro sobre $AB$, se o raio é $r$, seu centro pode ser tomado como $O=(r,0)$. A hipotenusa $BC$ é a reta que passa por $(4,0)$ e $(0,2)$, logo sua equação é  
$$
x+2y-4=0.
$$

A condição de tangência diz que a distância do centro $O$ à reta $BC$ é exatamente o raio da circunferência. Usando a fórmula da distância de ponto a reta,
$$
d=\frac{|x_0+2y_0-4|}{\sqrt{1^2+2^2}},
$$
temos, para $O=(r,0)$,
$$
r=\frac{|r-4|}{\sqrt5}.
$$
Como o centro está dentro do segmento $AB$, temos $r<4$, então $|r-4|=4-r$. Assim:
$$
r=\frac{4-r}{\sqrt5}.
$$

Resolvendo,
$$
r\sqrt5=4-r
$$
$$
r(\sqrt5+1)=4
$$
$$
r=\frac4{\sqrt5+1}.
$$
Racionalizando:
$$
r=\frac4{\sqrt5+1}\cdot\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5-1}
=\frac{4(\sqrt5-1)}{5-1}
=\sqrt5-1.
$$

Portanto, a alternativa correta é **E) $\sqrt5-1$**. As demais alternativas são valores próximos ou expressões comuns em problemas com triângulos notáveis, mas aqui não decorrem da condição essencial do problema: **tangência significa distância do centro à reta igual ao raio**. Sem usar essa relação, é fácil cair em tentativas com semelhança ou Pitágoras isoladamente, que não determinam corretamente o raio.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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