FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

No sistema
3𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑= 16
𝑎+ 3𝑏+ 𝑐+ 𝑑= 6
{
𝑎+ 𝑏+ 3𝑐+ 𝑑= 14
𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 3𝑑= 12
o valor de 𝑎 é:

A) –1;
B) 1;
C) 2;
D) 3;
E) 4.

Accepted Answer

Gabarito oficial: E. A forma mais rápida aqui é perceber a **simetria do sistema**. Em cada equação, uma variável aparece com coeficiente 3 e as demais com coeficiente 1. Se chamarmos

$$
S = a+b+c+d,
$$

a primeira equação pode ser reescrita como:

$$
3a+b+c+d = (a+b+c+d)+2a = S+2a = 16.
$$

Agora somamos as quatro equações. No lado esquerdo, cada variável aparece uma vez com coeficiente 3 e três vezes com coeficiente 1, totalizando coeficiente 6 para cada uma:

$$
6a+6b+6c+6d = 16+6+14+12.
$$

Logo,

$$
6(a+b+c+d)=48 \Rightarrow 6S=48 \Rightarrow S=8.
$$

Voltando à primeira equação reescrita:

$$
S+2a=16.
$$

Como $S=8$, temos:

$$
8+2a=16 \Rightarrow 2a=8 \Rightarrow a=4.
$$

Portanto, a alternativa correta é **E) 4**. As demais alternativas não satisfazem a relação necessária $S+2a=16$ com $S=8$: para o sistema ser compatível com a soma das equações, o valor de $a$ obrigatoriamente precisa ser 4. Essa é uma questão típica da FGV em que vale mais identificar a estrutura do sistema do que resolver tudo por substituição ou escalonamento.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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