FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

Em um retângulo, a base é o triplo da altura e x é o menor ângulo
formado por suas diagonais.
O valor de sen(x) + cos(x) é:
Obs: É dada a fórmula sen(2θ) = 2 ∙sen(θ) ∙cos(θ)

A) 1,2;
B) 1,4;
C) 1,5;
D) 1,6;
E) 1,8.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. A alternativa correta é a **B) 1,4**. Tome o retângulo com altura $1$ e base $3$, pois a base é o triplo da altura. Cada diagonal forma com a base um ângulo $\theta$ tal que $\tan\theta = \frac{1}{3}$. Como as diagonais são simétricas, o menor ângulo entre elas é $x = 2\theta$.

Agora vem o ponto central: em um triângulo retângulo com catetos $1$ e $3$, a hipotenusa vale $\sqrt{10}$. Assim, para o ângulo $\theta$, temos  
$$
\sen\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}
\quad\text{e}\quad
\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}.
$$
Usando a fórmula dada,  
$$
\sen x=\sen(2\theta)=2\sen\theta\cos\theta
=2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}
=\frac{6}{10}=0,6.
$$

Também precisamos de $\cos x$. Pela identidade do ângulo duplo,  
$$
\cos(2\theta)=\cos^2\theta-\sen^2\theta.
$$
Logo,  
$$
\cos x=\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2-\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2
=\frac{9}{10}-\frac{1}{10}
=\frac{8}{10}=0,8.
$$

Portanto,  
$$
\sen x+\cos x=0,6+0,8=1,4.
$$
As demais alternativas decorrem de erros comuns: usar diretamente o ângulo da diagonal com a base, esquecer que $x$ é o ângulo **entre as diagonais**, ou calcular apenas o seno sem somar corretamente o cosseno.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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