FGV 2022 · Raciocínio Lógico

Question

Uma das raízes do polinômio P(x) = x3 + 2x2 −5x + m é 2.
O produto das outras duas raízes desse polinômio é:

A) 3;
B) −3;
C) 6;
D) −6;
E) −4.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. Como 2 é raiz, temos necessariamente `P(2) = 0`. Substituindo: `2³ + 2·2² − 5·2 + m = 0`, isto é, `8 + 8 − 10 + m = 0`. Logo, `6 + m = 0`, portanto `m = −6`.

Assim, o polinômio passa a ser `P(x) = x³ + 2x² − 5x − 6`. Como já sabemos que uma raiz é `2`, podemos fatorar por `(x − 2)`, obtendo: `P(x) = (x − 2)(x² + 4x + 3)`. O trinômio restante fatorado fica `(x + 1)(x + 3)`, então as outras duas raízes são `−1` e `−3`.

O produto pedido é, portanto, `(-1) · (-3) = 3`. Por isso, a alternativa correta é a **A**.

Também dava para resolver por **relações de Girard**. Em um polinômio cúbico mônico `x³ + ax² + bx + c`, o produto das três raízes é `−c`. Aqui, depois de encontrar `m = −6`, temos `c = −6`, então o produto das três raízes é `−(−6) = 6`. Como uma das raízes é `2`, o produto das outras duas é `6 ÷ 2 = 3`. As alternativas negativas confundem quem erra o sinal do termo independente; já `6` seria o produto das três raízes, não apenas das duas restantes.

Raciocínio Lógico — FGV 2022

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