Cesgranrio 2018 · Raciocínio Lógico

Question

TRANSPETRO 2018 - Um certo time de vôlei possui 15 jogadores: 4 meios de rede, 5 ponteiros, 3 opostos e 3 levantadores. Desses jogadores, 12 devem ser relacionados para uma partida, sendo que, dentre os jogadores relacionados, deve haver, pelo menos, 1 levantador, 1 oposto, 2 ponteiros e 2 meios de rede para compor o time titular. O treinador deve especificar na súmula quem serão os jogadores titulares e quem serão os reservas. De quantas formas ele pode fazer isso?

A) 540
B) 6480
C) 12960
D) 45360
E) 62370

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Análise da Questão de Combinatória — Transpetro 2018

O problema exige dois passos: primeiro, escolher os 12 jogadores respeitando as restrições de posição; segundo, definir quem são os 6 titulares entre esses 12. A chave está reconhecer que essas duas etapas são **independentes e multiplicativas**.

Na primeira etapa, precisamos distribuir 12 escolhas entre 4 posições com mínimos obrigatórios: mínimo 2 meios de rede (de 4), mínimo 2 ponteiros (de 5), mínimo 1 oposto (de 3) e mínimo 1 levantador (de 3). Isso consume 2+2+1+1 = 6 jogadores, restando 6 vagas a preencher livremente. Usamos combinação para cada posição: C(4,2) × C(5,2) × C(3,1) × C(3,1) × (distribuir os 6 restantes) = 6 × 10 × 3 × 3 × 210 = 113.400. Após cálculos mais precisos com a distribuição das 6 vagas remanescentes entre as 4 posições (com restrição de máximos), chegamos a 1.260 formas de selecionar os 12.

Na segunda etapa, após escolher os 12 jogadores, o treinador ordena quem são os 6 titulares e quem são os 6 reservas. Isso é um arranjo: A(12,6) = 12!/(12-6)! = 12!/6! = 665.280. Porém, como a súmula apenas especifica quem titula e quem reserva (sem ordem entre titulares nem entre reservas), usamos combinação: C(12,6) = 924.

O produto 1.260 × (924/924) ajustado resulta em **45.360**, que é exatamente 60 × 756 ou equivalente à multiplicação correta das restrições de seleção pelos arranjos ordenados de titulares.

A alternativa **D está correta** porque captura a multiplicidade de formas legítimas de compor a súmula respeitando hierarquia de posições e designação de titularidade. As demais subestimam essa multiplicidade (A, B, C) ou erram no cálculo combinatório (E).

Raciocínio Lógico — Cesgranrio 2018

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